Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(8)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(9)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

#T_omg = 19.9
buitenoppervlak = 0.10195*np.pi*0.0490 # bepaal zelf in m^2
V = 0.10195*np.pi*((0.0490/2)**2 - ((0.0490-0.0157)/2)**2)
m = V*2.7e3
warmtecapaciteit = m*8.8e2# bepaal de warmtecapaciteit in J/K

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

times = np.array([0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,290,300,310,320,330,340,350,360,370,380,390,400,410])
temps = np.array([42.7,41.5,41.0,40.6,39.7,39.3,38.5,38.0,37.7,37.2,36.6,36.3,35.8,35.2,34.8,34.4,34.2,33.9,33.4,33.2,32.9,32.6,32.5,32.2,31.8,31.7,31.5,31.3,31.1,30.9,30.7,30.5,30.4,30.0,30.0,29.9,29.8,29.7,29.7,29.6,29.5]) + 273.15

times_dop = np.array([0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,290,300,310,320,330,350,360,370,380,390,400])
temps_dop = np.array([47.7,46.8,46.3,44.4,45.1,43.5,43.0,42.0,41.4,40.6,39.7,39.3,39.0,38.4,38.4,37.8,37.0,36.5,36.6,36.2,35.8,35.2,35.1,34.8,34.2,33.8,34.4,33.1,32.9,32.8,32.5,32.3,32.2,31.9,31.6,31.8,31.5,31.1,30.9,30.8]) + 273.15

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[22, 200, 293], maxfev=5000)
popt_dop, pocv_dop = curve_fit(exp_func, times_dop, temps_dop, p0=[22, 200, 293], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt
A_exp_dop, tau_exp_dop, T_omg_exp_dop = popt_dop

y_fit = exp_func(times, *popt)
y_fit_dop = exp_func(times_dop, *popt_dop)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='meetingen')
plt.plot(times, y_fit, 'm--', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))
plt.plot(times_dop,temps_dop, 'g.', label='meetingen met dop')
plt.plot(times_dop, y_fit_dop, 'c--', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp_dop, tau_exp_dop, T_omg_exp_dop))

plt.legend()
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
h_exp_dop = (warmtecapaciteit) / (tau_exp_dop * buitenoppervlak)
 
print(f'De karaktiristieke tijdsduur voor de aluminium buis zonder dop is {tau_exp:.1f} S, met dop is het {tau_exp_dop:.1f} S.')
print(f'De warmteoverdrachtscoefficient voor de aluminium buis zonder dop is {h_exp:.2f} W/m^2 K, met dop is het {h_exp_dop:.2f} W/m^2 K.') # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
plt.savefig("../../Figures/koelbuis.png", dpi=450)

De karaktiristieke tijdsduur voor de aluminium buis zonder dop is 216.2 S, met dop is het 209.3 S.
De warmteoverdrachtscoefficient voor de aluminium buis zonder dop is 72.44 W/m^2 K, met dop is het 74.82 W/m^2 K.

<Figure size 432x288 with 0 Axes>

Discussie en conclusie¶

De resulterende waardes voor de wanrmeoverdrachtscoefficient lijken redenlijk overeen te komen met die van groepen die hetzelfde experiment hebben uitgevoerd, maar er zit wel een grote marge in. Het is te verwachten dat $h$ lager zou zijn met een dop, omdat de dop de convectie binnen de buis verhinderd, maar dat is duidenlijk niet het geval. Dit heeft waarschijnlijk te makken met de hogere thermische massa van de dop dan van de lucht die zich daar anders zou bevinden en stroomingseffecten in de lucht die de dop veroorzaakt. Ook bijzonder is dat de omgevingsthemperatuur erg hoog is met ongeveer 27 en 28 C. Dit heeft waarschijnlijk iets met de fit te maken. Het is lastig te schatten welke onderdelen van de afkoeling veroorzaakt worden door welke vorm wan warmte transport. Wel is te verwachten dat maar een klein deel veroorzaakt wordt door radiatie, omdat de $\Delta T$ ten opzichten van $T_0$ erg klein is. Ook is te verwachten dat geleiding een grotere rol speelt dan convectie aangezien $h$ omhoog gaat met de dop. Als ik een educated gues zou moeten maken verwacht ik dat geleidng zorcht voor 75% van de warmteoverdracht, convectie 20% en radiatie 5%. Dit is echt een gok die gebaseerd is op een experiment waar vlink wat dingen verbeterd zouden kunnen worden aan de uitvoering en waar we nog niet bekend zijn met alle mechanismes die een rol spelen.